Mae June yn Gomisiynydd ac yn Gadeirydd ar Bwyllgor Cymru’r Comisiwn Cydraddoldeb a Hawliau Dynol, yn Gomisiynydd Gwasanaeth Sifil, ac yn aelod lleyg o gorff llywodraethu Prifysgol Glasgow.
Trwy gydol ei gyrfa mae wedi gweithio mewn gwasanaeth cyhoeddus, gan gynnwys rolau Llywodraethwyr mewn carchardai hirdymor a’r lefel uchaf o amddiffyniad, diplomydd sy’n cynrychioli’r Deyrnas Unedig gyda sefydliadau Ewropeaidd ym Mrwsel, ymgynghorydd polisi gweinidogol a phrif ysgrifennydd preifat. Yn fwyaf diweddar mae hi wedi bod yn aelod o fwrdd a Chyfarwyddwr Cyffredinol Llywodraeth Leol a Chymunedau yn Llywodraeth Cymru. Mae Mehefin wedi gwasanaethu fel ymddiriedolwr y Young Foundation.